５．連立一次方程式
- 大人何人？子供何人？
- 今日は隣り町のチームと親善試合があるので、これからみんなで電車に乗って移動します。メンバーとその父兄を合わせて全部で２５人います。片道の電車賃は子供１人６０円、大人１人１３０円かかります。
Ｄｒａｇｏｎコーチ「みなさん、これから私がまとめて切符を買いますので、片道の電車賃をください。」
Ｓｎａｋｅ君「はい、Ｄｒａｇｏｎコーチ。これは僕が代わりに集めたお金です。」
Ｊａｓｏｎ君「はい、Ｄｒａｇｏｎコーチ。これは俺が代わりに集めたお金です。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「ありがとう。えーと・・・、全部で２０６０円だね。あれ？大人と子供を何人ずつ買えばいいのかな？」
Ｎｏｖｙ君「じゃあ、ぼくが人数を数えようか？みなさん、大人と子供に別れて並んでください。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「Ｎｏｖｙ君、大丈夫だよ。計算すれば分かるから。」
Ｎｏｖｙ君「え？どうやって計算するの？そんなの無理だよ。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「それはね、連立一次方程式を使えば簡単なんだよ。」
Ｎｏｖｙ君「あー、また難しそうなことを言う。聞かなきゃよかった。。。」
あなたはどうやって答えを求めるか分かりますか？
連立一次方程式とは、一次方程式がいくつか並んでいる式でしたね。
ここでは以下の２つの式がセットになります。
大人の人数 ＋ 子供の人数 ＝ ２５人
１３０円×大人の人数 ＋ ６０円×子供の人数 ＝ ２０６０円
この大人の人数をｘ、子供の人数をｙとすれば、あなたのよく知っている連立一次方程式になりますね？
では、さっそく問題を解いてみましょう。
ｘ ＋ ｙ ＝ ２５ より
ｘ ＝ ２５ － ｙ
このｘを以下の式に代入すると
１３０ｘ ＋ ６０ｙ ＝ ２０６０
１３０（２５－ｙ） ＋ ６０ｙ ＝ ２０６０
３２５０－１３０ｙ ＋ ６０ｙ ＝ ２０６０
－１３０ｙ ＋ ６０ｙ ＝ ２０６０－３２５０
－７０ｙ ＝ －１１９０
７０ｙ ＝ １１９０ （両辺に－１を掛けた）
ｙ ＝ １７
ｘ ＋ ｙ ＝ ２５
ｘ ＋ １７ ＝ ２５
ｘ ＝ ２５ －１７
ｘ ＝ ８
よって
大人８人、子供１７人となりました。
- ２つの１次方程式でなぜ答えが求まるの？
- さて、方程式は解けました。ですが、なぜ式が２つあると方程式は解けるのでしょうか？
まずは自分で考えてみてください。
・・・
・・・
・・・
分かりましたか？
これは式をグラフに描くと直感的に分かります。
図１を見て下さい。
図１のように二つの方程式はある１点で交わります。よってｘとｙの２つの未知数が求まるのです。
図１
もっと正確に言うと、二元一次方程式が２つあるとき、２つの方程式の傾きが異なる場合は、必ず１点で交わるのです。つまり、どちらの方程式も満たす点が交わる点なのです。これが求める答えとなります。
二元とは変数が２つという意味でしたね。ここではｘとｙの２つです。
ワンポイント(1) 日本の江戸時代には鶴亀算という文章題がありました。問題はこうです。
ツルとカメがあわせて８匹、足の数があわせて２６本であるとき、ツルとカメは何匹いるか？
答えはツル３匹、カメ５匹です。なぜそうなるかは自分で考えてみてください。
では２つの二元一次方程式があっても答えが求められない場合とは、いったいどういう状態でしょうか。
そうです。２つの方程式の傾きが一緒の場合ですね。
つまり、２つの方程式が平行あるいは一致していれば、交わることはありません。
それでは以下の２つの連立方程式を解いてみましょう。
３ｘ ＋ ３ｙ ＝ １５
２ｘ ＋ ２ｙ ＝ ６０
３ｘ ＋ ３ｙ ＝ １５ より
３ｘ ＝ １５ － ３ｙ
ｘ ＝ ５ － ｙ
このｘを以下の式に代入すると
２ｘ ＋ ２ｙ ＝ ６０
２（５－ｙ） ＋ ２ｙ ＝ ６０
１０－２ｙ ＋ ２ｙ ＝ ６０
－２ｙ ＋ ２ｙ ＝ ６０－１０
０ ＝ ５０？？？
なんとｙが消えてしまいました。そして０＝５０というありえない等式が残ってしまいました。
図２を見て下さい。
そうです。２つの方程式は傾きが一緒なので決して交わらないのです。
図２
ワンポイント(2) 三元一次方程式は立体座標上で３つの一次方程式が一点で交わる場合に限り答えが求まります。例えばｘ＋ｙ＋ｚ＝３は立体座標上で平面を表します。答えの求め方は二元一次方程式と一緒です。
どのような場合に一点で交わるか、紙などを使ってイメージしてみましょう。
- ２つの１次方程式を重ねてみよう。
- 今までｘ＝・・・という形にして他の方程式のｘに代入したやり方を”代入法”と呼びます。
実は代入法以外にも連立二元一次方程式を求める方法があるのです。
それは”加減法”と言われるものです。
加減法とは、２つの方程式を重ねて元（ｘやｙなどの変数）をひとつ消してしまうというやり方です。重ねるというのは、左辺には他方の左辺を、右辺には他方の右辺を加算、あるいは減算するというやり方です。なぜこんなやり方が許されるかと言えば、方程式（等式）はその両辺に同じ値を加算しても減算しても、等式関係は崩れないからです。ちょうど天秤と同じことですね。
では加減法を使って図１の連立方程式を解いてみます。
以下の等式の両辺に６０を掛けます。
ｘ ＋ ｙ ＝ ２５
６０ｘ ＋ ６０ｙ ＝ １５００
下の式から上の式を減算します。
１３０ｘ ＋ ６０ｙ ＝ ２０６０
１３０ｘ － ６０ｘ ＝ ２０６０ － １５００
７０ｘ ＝ ５６０
ｘ ＝ ５６０／７０
ｘ ＝ ８
上の結果を下の式に代入します。
ｘ ＋ ｙ ＝ ２５
８ ＋ ｙ ＝ ２５
ｙ ＝ ２５ － ８
ｙ ＝ １７
よって
大人８人、子供１７人となりました。
同じ答えを求めることができましたね。
では、なぜ加減法を使っても連立方程式を解くことができるのでしょうか？
これは、一見代入法と違った方法かと思われますが、実はやっていることは代入法と同じなのです。
上の解法の中で以下のＡの式からＢの式を減算した箇所がありました。
１３０ｘ ＋ ６０ｙ ＝ ２０６０ ・・・Ａ
６０ｘ ＋ ６０ｙ ＝ １５００ ・・・Ｂ
１３０ｘ － ６０ｘ ＝ ２０６０ － １５００
７０ｘ ＝ ５６０
これは結局、以下のように考えることができるのではないでしょうか。
１３０ｘ ＋ ６０ｙ ＝ ２０６０
６０ｙ ＝ －１３０ｘ ＋２０６０
上の式を下の式に代入する。
６０ｘ ＋ ６０ｙ ＝ １５００
６０ｘ ＋ （－１３０ｘ ＋２０６０） ＝ １５００
６０ｘ －１３０ｘ ＝ １５００ －２０６０
１３０ｘ － ６０ｘ ＝ ２０６０ － １５００ （両辺に－１を掛けた）
７０ｘ ＝ ５６０
そうです。結局は６０ｙで代入していることと同じなのです。
ただ、加減法はその途中の移項の計算を省くことができるので便利です。そして、加減法は代入法の応用であることを覚えておきましょう。
解けない場合の加減法は、ぜひ自分で試してみましょう。
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Ｎｏｖｙ君「ふ～ん。連立一次方程式ってとても便利なんだね。でも、もし計算して解けなかった場合はがっかりするなぁ。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「もし解けなかった場合でも、その連立方程式が矛盾しているということが分かるのだから、それはそれで意味のあることなんだよ。さあ、電車が来たぞ。」
Ｎｏｖｙ君「あれ？僕の切符がないよ。なくしちゃった。えーん。Ｄｒａｇｏｎコーチ、僕の切符がどこにあるか連立方程式で解いてよーーー！」
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