６．確率
- 得点の確率が高いのはどっち？
- Ｓｎａｋｅ君はドリブルが得意です。Ｊａｓｏｎ君はシュートが得意です。さきほど終わった試合についてみんなで話し合っています。
Ｓｎａｋｅ君「あのとき、Ｎｏｖｙが僕にパスしていたら、絶対に得点したのに。」
Ｊａｓｏｎ君「いや、俺にパスしていたら、絶対に得点していたぜ！」
Ｎｏｖｙ君「２人とも、サッカーに絶対なんてないよ。だから面白いのさ。」
Ｓｎａｋｅ君「ふざけるな、Ｎｏｖｙ。あのときお前がミスして相手にボールを取られたんだぞ。」
Ｊａｓｏｎ君「そうだ。お前が悪い。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「でも、どっちにパスしていたら得点の可能性が高かったのだろう？」
Ｊａｓｏｎ君「そりゃ、俺に決まってますよ、Ｄｒａｇｏｎコーチ。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「では、あのときのプレーを整理して考えてみよう。」
あのときのプレーとは図１のような状況でした。
このような状況であれば、今までの経験から言って、以下のような確率で得点できただろうと考えてみます。
図１
もしＳｎａｋｅ君にパスが渡っていたならば、Ｓｎａｋｅ君はドリブルが好きなので、２割方シュートで８割方ドリブルしたとします。そして、
すぐシュートをしたら２５％の確率で得点したとします。
得意のドリブルをしてからシュートしたら３０％の確率で得点したとします。
もしＪａｓｏｎ君にパスが渡っていたならば、Ｊａｓｏｎ君はシュートが好きなので、９割方シュートで１割方ドリブルしたとします。そして、
すぐ得意のシュートをしたら３５％の確率で得点していたとします。
ドリブルをしてからシュートしたら１５％の確率で得点したとします。
さて、どちらにパスが渡った方が得点の確率が高いでしょうか。
少し自分で考えてみてください。
・・・
・・・
・・・
さて、どのように比較すればよいでしょうか。
単純に個々の確率の平均を出せば、Ｓｎａｋｅ君の方が確率が高そうに見えます。
Ｓｎａｋｅ君：（０．２５＋０．３０）／２ ＝ ０．５５／２ ＝ ０．２７５
Ｊａｓｏｎ君：（０．３５＋０．１５）／２ ＝ ０．５０／２ ＝ ０．２５０
この場合はＳｎａｋｅ君の方が得点の確率が高いようです。
しかし、Ｓｎａｋｅ君は２割方シュート、８割方ドリブルをし、Ｊａｓｏｎ君は９割方シュート、１割方ドリブルすることを考えなければなりません。
とすると、こうなります。
Ｓｎａｋｅ君：０．２５×０.２＋０．３０×０.８ ＝ ０．０５＋０．２４ ＝ ０．２９０
Ｊａｓｏｎ君：０．３５×０.９＋０．１５×０.１／２ ＝ ０．３１５＋０．０１５ ＝ ０．３３０
こうすると、Ｊａｓｏｎ君の方が得点の確率が高いようです。
さきほどの平均よりも、それぞれ得意なプレーに偏る分だけ確率が高くなっていると解釈できます。
つまり、Ｓｎａｋｅ君の方が平均の得点能力は高いと言えるかも知れませんが、この状況では、Ｊａｓｏｎ君にパスが渡った方が得点の確率は高いと言えそうです。
ワンポイント(1) 確率と統計の違い。
確率は偶然に対する事柄の確からしさを考える学問です。これに対して統計は、確率を基礎として、ある事象がどのような傾向にあるかを考える学問です。例えば事象の平均値やばらつき具合を調べたりします。
確率と成功率の違い。
それから、確率は偶然に対する事柄の確からしさのことですので、成功率とはちょっと意味が違います。さいころを振って１の目が出れば成功と考える場合は、この成功率は偶然に対する事柄と言えますが、シュートの成功率は、努力によって改善することができます。つまり必然的に成功率を変えることができると言えます。ですが、今論じているのは、今までの経験＝最近の過去の記憶（データ）を元にした成功率が、さきほど終わった試合にも適用できるだろう、という前提に立っています。つまり、もしかしたら急に上手くなっていたかも知れないが、それは考えないで、現時点では任意に変えることのできない成功率＝偶然に対する事柄＝確率として扱っています。
- 樹形図で考えよう
- 今度はもう少し複雑な状況を考えましょう。
例題１ 相手陣地内でボールがＮｏｖｙ君のところに来ました。前方にはヘディングの得意なＪａｓｏｎ君がいて、斜め前方のライン際にはＳｎａｋｅ君がいました。
そして、今までの経験から言うと、以下のようになるとします。
図２
Ｎｏｖｙ君のスルーパスが成功する確率：０．３
Ｎｏｖｙ君のサイドへのパスが成功する確率：０．６５
Ｊａｓｏｎ君がスルーパスを受けた場合にヘディングする確率：０．２
Ｊａｓｏｎ君がスルーパスを受けた場合にヘディング以外のプレーをする確率：０．８
Ｓｎａｋｅ君のセンターリングが成功する確立：０．４
Ｊａｓｏｎ君がセンターリングを受けた場合にヘディングする確率：０．４
Ｊａｓｏｎ君がセンターリングを受けた場合にヘディング以外のプレーをする確率：０．６
条件がたくさんあって複雑です。このような場合には、樹形図を描いて整理することができます。
樹形図とは図３のような枝分かれの図を言います。ちょうど生物を分類する系統樹のような形をしています。ここに、確率の対象となるすべての事象を作成するのです。
では
例題１ についての樹形図を描いてみます。
図３を見て下さい。
樹形図の根から成功で終わっている事象までを掛け算して、すべてを足したものから全体を割り算すれば確率が求まります。
図３
ただし、ここでの全体は１ですので、割り算しても値は変わりません。ですが、確率は取り上げたい事象／全体の事象だということは忘れないようにしましょう。
では、Ｊａｓｏｎ君へ直接パスする場合とＳｎａｋｅ君経由でＪａｓｏｎ君へパスする場合の確率を計算してみましょう。
Ｊａｓｏｎ君へ直接パスする場合
ヘディングのシュートが成功する確率：０．３×０．２×０．８＝０．０４８
ヘディング以外のシュートが成功する確率：０．３×０．８×０．２＝０．０４８
合計：０．０４８＋０．０４８＝０．０９６
Ｓｎａｋｅ君経由でＪａｓｏｎ君へパスする場合
ヘディングのシュートが成功する確率：０．６５×０．４×０．４×０．８＝０．０８３２
ヘディング以外のシュートが成功する確率：０．６５×０．４×０．６×０．２＝０．０３１２
合計：０．０８３２＋０．０３１２＝０．１１４４
よって、Ｓｎａｋｅ君経由でＪａｓｏｎ君へパスする方が得点の確率が高いと言えそうです。
やはり、Ｊａｓｏｎ君の高い成功率であるヘディングを活かす方法を取った方がよい、ということでしょうか。
それから、確かめのために失敗する確率も計算しましょう。
失敗する確率は全体－成功する確率、ですので、以下になると予想できます。
Ｊａｓｏｎ君へ直接パスする場合
全体：１
成功する確率：０．０９６
失敗する確率：１－０．０９６ ＝ ０．９０４
では実際に樹形図から失敗する確率を計算してみましょう。
スルーパスが失敗する確率：０．７
ヘディングのシュートが失敗する確率：０．３×０．２×０．２＝０．０１２
ヘディング以外のシュートが失敗する確率：０．３×０．８×０．８＝０．１９２
合計：０．７＋０．０１２＋０．１９２＝０．９０４
どうやら正しいようですね。
それにしても、スルーパスの失敗する確率が７０％もあるというのは、とても痛いことですね。やはり最初のプレーは安全策が良いと言えるかも知れません。
Ｓｎａｋｅ君経由でＪａｓｏｎ君へパスする場合
全体：１
成功する確率：０．０９６
失敗する確率：１－０．１１４４ ＝ ０．８８５６
こちらも樹形図から失敗する確率を計算してみましょう。
サイドへのパスが失敗する確率：０．３５
センタリングが失敗する確率：０．６５×０．６＝０．３９
ヘディングのシュートが失敗する確率：０．６５×０．４×０．４×０．２＝０．０２０８
ヘディング以外のシュートが失敗する確率：０．６５×０．４×０．６×０．８＝０．１２４８
合計：０．３５＋０．３９＋０．０２０８＋０．１２４８＝０．８８５６
こちらも正しいようですね。
このように、樹形図を描くことで事象を整理して考えることができます。
ワンポイント(2) データを収集してみよう。
ここ１０年ぐらい前からプロのチームなどでは、あらかじめ対戦相手のデータを記録して、少しでも対戦時に有利にしようという試みが見られます。また、サッカーの戦術的な理論を裏付けるためにプレーなどのデータを記録することがあります。
このように色々な事柄を記録し、分析するための手段として確率や統計が役に立ちます。ですので、どのようなデータを収集すれば役に立つかを考えてデータの収集に挑戦してみましょう。例えば、試合中に何本のパスが連続してつながったのかを記録しておけば、後日の練習の目標にすることができます。
ただし、注意しておきたいのは、収集したデータをどのように使うかは自分達で判断する必要があるということです。収集したデータを参考程度にするのか、あるいは絶対の基準とするのかは、それぞれのデータの性格を把握して判断する必要があります。つまり、与えられた数字を鵜呑みにするのではなく、それがどのようなデータであるかをきちんと把握する必要があるのです。
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Ｎｏｖｙ君「結局、Ｊａｓｏｎ君にパスした方が良かったのか。でも、試合中にそんな面倒な計算はできないよ。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「そう。試合中にいちいち計算できないね。だから、試合の後に試合での出来事を思い出して、客観的に評価することが大事なんだよ。そうすれば次の似たような場面で活かせるよね。」
Ｊａｓｏｎ君「それよりも、Ｎｏｖｙは相手にボールを取られないようにしろ！」
Ｎｏｖｙ君「あれは、たまたまだよ。確率で言えば１％ぐらいかな。」
Ｓｎａｋｅ君「ふざけるな！お前はいつもボールを奪われるじゃないか。」
Ｎｏｖｙ君「ひーーーん！またいじめられた。Ｄｒａｇｏｎコーーーーチ！」
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