３．マイナスどうしの掛け算
- なぜマイナスどうしの掛け算はプラスになるの？
- まずは図１を見て下さい。
チームＤｒａｇｏｎｓのトップチームの今年の戦績が良くありません。そのせいで週１回ある試合の観客数が少なく、１試合ごとに５０万円ずつ赤字が出ています。昨日の試合で現在のクラブチームの経営状況は１２０万円の赤字です。
図１
Ｄｒａｇｏｎコーチ「ここのところトップチームはずっと負けているからね。こないだとうとうＤｒａｇｏｎｓの経営が赤字になってしまったんだよ。」
Ｓｎａｋｅ君「みんなもっと応援に行かないとだめだよ。僕なんか毎週必ず試合を見に行っているよ。」
Ｊａｓｏｎ君「でも、トップチームが弱いんだもん。試合に負けるとやっぱりつまらないよ。」
Ｓｅｌｉｃａちゃん「ところで、Ｄｒａｇｏｎｓはいつまで黒字だったのかしら。」
Ｎｏｖｙ君「簡単だよＳｅｌｉｃａちゃん。それはねぇ。現在１２０万円赤字なんだから、１ヶ月前が７０万で２ヶ月前が２０万で・・・３ヶ月前だよ。」
Ｓｅｌｉｃａちゃん「うん。それは分かるんだけどね。そうするとどうやって計算するのかしら。－１２０＋（－５０×－３） ＝ －１２０－１５０ ＝ －２７０。あれ？おかしいわ。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「Ｓｅｌｉｃａちゃん。最初の式は正しいよ。でも、－１２０＋（－５０×－３） ＝ －１２０＋１５０ ＝ ＋３０だよ。」
Ｓｅｌｉｃａちゃん「えー？－５０×－３ ＝ ＋１５０なの？マイナス掛けるマイナスはプラスってこと？でも多分答えは＋３０で正しいのよね。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「Ｓｅｌｉｃａちゃん、いい質問だね。なぜマイナスどうしの掛け算はプラスになるのだろう。みんなで考えてみよう。」
- －１×－１＝＋１になる理由
- なぜマイナスどうしの掛け算はプラスになるのでしょう。
その理由を考える前にＡ×－Ｂや－Ａ×Ｂといった異符号どうしの掛け算を復習しよう。
－Ａ×ＢはＡ×Ｂと同じ考え方です。
まずは自分で考えてみてください。
・・・
・・・
・・・
思い出しましたか？掛け算の基本は足し算の繰り返しです。
Ａ×Ｂは
Ａ＋Ａ＋・・・＋Ａ＋Ａ
でしたよね？
つまり－Ａ×Ｂは
（－Ａ）＋（－Ａ）＋・・・＋（－Ａ）＋（－Ａ）
＝－Ａ・Ｂ
となります。
次にＡ×－Ｂを考えてみましょう。
こちらの式はさきほどのように足し算で考えることはできないので、Ａ×－Ｂを－Ａ×Ｂの形に変換してしまいます。
やり方はこうです。
Ａ×－Ｂ ＝ Ｃとすると、
（Ａ×－Ｂ）／Ａ ＝ Ｃ／Ａ
－Ｂ ＝ Ｃ／Ａ
－Ｂ×Ａ ＝（Ｃ／Ａ）×Ａ
－Ｂ×Ａ ＝ Ｃ
結局、Ａ×－Ｂ ＝ －Ｂ×Ａ となりました。
つまり、Ａ×－Ｂも－Ｂ×Ａも－Ａ・Ｂになるのです。
ではいよいよ－Ａ×－Ｂを考えてみます。
－１×－１ ＝ ＋１となれば、－Ａ×－Ｂ ＝ ＋Ａ・Ｂであることは簡単に分かります。
証明１
－１×（２－１） ＝ －１という式から証明してみます。
－１×（２－１）は－１×１ですので、－１になりますよね？
－１×（２－１） ＝ －１
－１×２＋（－１×－１） ＝ －１
－２ ＋（－１×－１） ＝ －１
－１×－１ ＝ －１＋２
－１×－１ ＝ ＋１
あら不思議。－１×－１＝＋１になってしまいました。
証明２
次は２つの同じマイナス値の差を求めてみます。
（－１） － （－１）＝ ０
（－１）＋（－１）×（－１）＝ ０
－１ × －１ ＝＋１
同じ値の差なので等式の右側は０で間違いないですよね。
やはり－１×－１＝＋１なのです。
なぜ－１×－１＝＋１なのでしょうか？これには種も仕掛けもありません。私達の身近には、マイナス掛けるマイナスという現象が他の現象よりも圧倒的に少ないのです。そもそもマイナスという記号すら昔はなかったので、マイナスの掛け算というものもマイナスの符号を発明してから考えるようになったぐらいです。だから、マイナス掛けるマイナスという数少ない現象をたくさんイメージすれば、違和感が薄れることでしょう。
ワンポイント(1) 西暦876年頃、インドでゼロの記号が使われていたといいます。また西暦1150年頃、同じくインドで、バスカラがマイナスを負債（ふさい）という意味で説明したと言われています。このインドの記数法とアラビアの数学をイタリア（ピサ）のレオナルドがヨーロッパに伝えたのが始まりだと言われています。
- マイナス×マイナスをイメージしよう
- マイナス掛けるマイナスという現象をたくさんイメージしましょう。
紙とペンを用意してください。そして図を描きながらなぜそうなるのか考えてみましょう。
イメージ１
幅がｘ－２で高さｘ－３という長方形の面積を求めてみます。
（ｘ－２）×（ｘ－３）
＝ｘ－２ｘ－３ｘ＋（－２×－３）
もし式がｘ－２ｘ－３ｘだけであれば、－２ｘと－３ｘの重なった面積の分だけ多くマイナスしすぎてますよね？ですので、この式はマイナスしすぎた面積から（－２×－３）＝＋６の分を補っていると考えることができます。
イメージ２
数直線を描いてＡ－Ｂについて考えてみましょう。数直線を使うことで私たちは簡単にマイナスをイメージすることができます。
Ａ－ＢはＡとＢの差を求めることです。差は数直線上の距離を表します。ＡとＢにいろいろな数字を入れて差を計算し、なぜそうなるのか考えてみましょう。
イメージ３
利益と借金について考えます。
以下の式を比べてイメージしてみましょう。例えばプラス×プラスであれば”２万円の利益の３倍を得た”という感じでイメージします。
プラス ×プラス ＝利益を得た ＝得
マイナス×プラス ＝借金を得た ＝損
プラス ×マイナス＝利益を無くした＝損
マイナス×マイナス＝借金を無くした＝得
イメージ４
サッカーのビデオを見ているとして、ある選手が秒速８ｍ走っているところを一時停止したとします。そしてビデオを早送りあるいは巻き戻しするとどうなるでしょうか。一時停止した位置を0として、そこよりも攻撃方向をプラス、守備方向をマイナスとすると、何メートルの位置にいるかをイメージしてみましょう。例えばプラス×プラスであれば”その選手は攻撃中で＋２秒早送りすると２×８＝１６ｍ現時点よりも攻撃方向にいる”という感じでイメージします。
プラス ×プラス ＝攻撃中×早送り ＝現時点よりも攻撃方向
マイナス×プラス ＝守備中×早送り ＝現時点よりも守備方向
プラス ×マイナス＝攻撃中×巻き戻し＝現時点よりも守備方向
マイナス×マイナス＝守備中×巻き戻し＝現時点よりも攻撃方向
- マイナスの役割
- 今度はマイナスについてもう少し抽象的に考えてみます。
そもそも数におけるマイナスの役割とは何でしょうか？
マイナスを視覚的に見ることができる数直線上で考えてみてください。
・・・
・・・
・・・
何か分かりましたか？
では図２を見てみましょう。
マイナスとは元の数に対して０を基準に逆方向を示すものと考えることができるのです。
図２
次の式を比べてみてください。
１＝１
１×（－１）＝（－１）＝－１
１×（－１）×（－１）＝（－１）＝＋１
１×（－１）×（－１）×（－１）＝（－１）＝－１
１×（－１）×（－１）×（－１）×（－１）＝（－１）＝＋１
さらにｎ＞０であれば次のことが言えます。
（－１）＝－１ （マイナス符号が奇数個）
（－１）＝＋１ （マイナス符号が偶数個）
マイナスがたくさん出てきたからといって、何も恐れることはありません。大事なのは（－１）×（－１）＝＋１であることを知っていれば良いのです。
これをコインの金額計算で考えてみましょう。
１０円玉のコインが２枚あります。表が出れば＋１０円、裏が出れば－１０円とします。１０円玉のコインを投げたら２枚とも裏の反対の反対の反対の反対の反対になりました。金額はいくらでしょうか？
裏の反対の反対の反対の反対の反対は結局表ですよね。
これを式に書くと
－１０×（－１）×２
＝－１０×（－１）×２
＝＋２０
これだけの話しです。面倒な計算はありません。
大事なのは、何がプラスで何をマイナスとして考えればいいのかを見つけることにあります。
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Ｓｅｌｉｃａちゃん「なるほど。毎週５０万円の赤字の場合の３週前の状況は、－５０×（－３）＝＋１５０だから、現在よりも１５０万円の利益があったと考えることができるのね。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「その通りだね。現在の赤字は１２０万円だから、－１２０＋１５０＝＋３０、３週前は３０万円の黒字だったんだね。」
Ｓｅｌｉｃａちゃん「そうですね。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「私達にとって、マイナスどうしの掛け算はとてもなじみが薄いけど、数学の授業ではたくさん出てくるよね。だから、このギャップを埋めるために、少しでもマイナスどうしの掛け算を探してイメージする必要があるんだ。」
Ｎｏｖｙ君「でもさ。元はと言えば昔の人がマイナスを発明したからだよね。あ～あ、マイナスなんて発明されなかったら良かったのになぁ。」
Ｓｎａｋｅ君「僕の数学の成績はいつも”Ｃプラス”だけど、Ｎｏｖｙはいつも”Ｄマイナス”だからな。ハハハ。」
Ｎｏｖｙ君「ひーん。またいじめられた。Ｄｒａｇｏｎコーーーチ！」
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