４．一次不等式

Ｊａｓｏｎ君が追いつくのは何試合後？

今年得点したゴールの合計について３人が話しています。現在、Ｓｎａｋｅ君は１２点、Ｎｏｖｙ君は５点、Ｊａｓｏｎ君は怪我をしていたため２点しか得点していません。

Ｓｎａｋｅ君「僕が今得点王だ。１２点も得点したよ。このところ２試合に１点は得点しているからね。」
Ｎｏｖｙ君「僕は５点だ。Ｊａｓｏｎ君は２点だから３人の中でビリだね。」
Ｊａｓｏｎ君「なんだとＮｏｖｙ！俺は今年ずっと怪我をしていたからなんだぞ。やっと怪我が治ったから、お前なんかすぐに抜かしてやる。」
Ｎｏｖｙ君「Ｊａｓｏｎ君とは３点も差があるからね。まだまだ抜かれないよ。」
Ｊａｓｏｎ君「ふん。Ｎｏｖｙは５試合に１点しか取れないからな。俺は１試合に２得点してやる。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「まあまあみんな言い争いをしないで。ではＪａｓｏｎ君が１試合に２得点するとしたら、何試合後にＮｏｖｙ君あるいはＳｎａｋｅ君を超えますか？」
Ｊａｓｏｎ君「Ｄｒａｇｏｎコーチ、いいこと言うねぇ。えーと、俺が現在２点で１試合に２得点するから、２ｘ＋２かな？それで、Ｎｏｖｙは現在５得点で５試合に１得点だから、（１／５）ｘ＋５だよな。うーーーん、これをどうするんだ？」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「そしたら、一次不等式の形にすればいいんだよ。」
Ｊａｓｏｎ君「え？一次不等式？」

あなたはどうやって答えを求めるか分かりますか？
一次方程式は右辺と左辺が等号で結ばれていますが、一次不等式では＞、＞＝、＜、＜＝といった大小関係を表わす記号（不等号）で結ばれるのでしたね。
では、Ｎｏｖｙ君の場合とＳｎａｋｅ君の場合の２つを求めてください。

・・・
・・・
・・・

まずは、Ｎｏｖｙ君の場合ですが、
Ｊａｓｏｎ君が考えた通り、ｘを試合の数とすると
Ｊａｓｏｎ君：２ｘ＋２
Ｎｏｖｙ君：（１／５）ｘ＋５
となります。
そしてＪａｓｏｎ君がＮｏｖｙ君を超える場合が解ですので、
２ｘ＋２　＞　（１／５）ｘ＋５
これが解を求めるための式となります。
この一次不等式を解くと、
２ｘ＋２　＞　（１／５）ｘ＋５
２ｘ－（１／５）ｘ　＞　５－２
（９／５）ｘ　＞　３
ｘ　＞　３×（５／９）
ｘ　＞　５／３
ｘ　＞　１　２／３
よって２試合後以降であれば、Ｊａｓｏｎ君はＮｏｖｙ君を超えることになります。

次に、Ｓｎａｋｅ君の場合ですが、
Ｊａｓｏｎ君：２ｘ＋２
Ｓｎａｋｅ君：（１／２）ｘ＋１２
ですので、
２ｘ＋２　＞　（１／２）ｘ＋１２
この一次不等式を解けば解を求めることができます。
２ｘ＋２　＞　（１／２）ｘ＋１２
２ｘ－（１／２）ｘ　＞　１２－２
（３／２）ｘ　＞　１０
ｘ　＞　１０×（２／３）
ｘ　＞　２０／３
ｘ　＞　６　２／３
よって７試合後以降であれば、Ｊａｓｏｎ君はＳｎａｋｅ君を超えることになります。

なぜ１次不等式を解けば答えが求まるの？

不等式は方程式と同じように移項をすればｘが求まることが分かりました。では、なぜ１次不等式を解けば答えが求まるのでしょうか？また、１次方程式との違いは何でしょうか？
そのヒントは図形的に考えることです。図形で考えるといろいろなことが見えてきます。
では自分で考えてみてください。

・・・
・・・
・・・

図形で考えると何が見えてきましたか？
Ｊａｓｏｎ君はｙ＝２ｘ＋２、Ｎｏｖｙ君はｙ＝（１／５）ｘ＋５、Ｓｎａｋｅ君はｙ＝（１／２）ｘ＋１２の関数としてグラフに描いてみます。
図１を見て下さい。

図１

Ｊａｓｏｎ君とＮｏｖｙ君、Ｊａｓｏｎ君とＳｎａｋｅ君のそれぞれの関数の交点はさきほど求めた不等式の解です。そして、問題はＪａｓｏｎ君がＮｏｖｙ君を超える場合と、Ｊａｓｏｎ君がＳｎａｋｅ君を超える場合ですので、それぞれの関数を比較してＪａｓｏｎ君の関数が上（ｙの値が大きい）になるのは、前者の場合はｘ　＞　１　２／３、後者の場合はｘ　＞　６　２／３なのです。
そしてｘを求めるということは２つの関数の交点を求めるということだったのです。

それから、不等式を別の形にすると違うことが見えることもあります。
Ｊａｓｏｎ君がＳｎａｋｅ君を超える場合を考えてみます。
不等式の最初の形はこうでした。
２ｘ＋２　＞　（１／２）ｘ＋１２
これを左辺にすべて以降します。
２ｘ＋２　－　（１／２）ｘ＋１２　＞　０
これを整理すると以下の式になります。
（３／２）ｘ　－　１０　＞　０
これを図に表してみます。
図２を見て下さい。

図２

この式は以下のように解釈できます。

Ｊａｓｏｎ君の得点ペース　－　Ｓｎａｋｅ君の得点ペース　＋　Ｊａｓｏｎ君の現在の得点　－　Ｓｎａｋｅ君の現在の得点　＞　０
Ｊａｓｏｎ君とＳｎａｋｅ君との得点差が縮まっていくペース　＋　現在のＪａｓｏｎ君のＳｎａｋｅ君との得点差　＞　０

この式は、Ｊａｓｏｎ君がどのようにＳｎａｋｅ君との得点差を縮めていくのかといった様子を表している、と考えることができます。

ワンポイント(1)

＜と＜＝の違い。 ｘ＜５は５よりも小さい数（５未満）を表します。ですので、５は含まれません。ｘ＜＝５は５を含んだそれよりも小さい数（５以下）を表します。＞と＞＝の関係も同様です。これらは小さな違いのような気がしますが、間違えると大変な場合もあります。例えば、１２歳未満は航空運賃が半額とします。もし、１２歳の人が半額料金しか払っていなければ、罰せられるかも知れませんよ。

不等号の向きが変わる？

不等式を扱う上で注意しなければならないのは、移項すると不等号の向きが変わる場合があるのです。なぜそうなるのか考えてみましょう。
それでは次の問題を解いてください。
Ｎｏｖｙ君がゴールキーパーをすると毎試合２点取られます。現在からカウントして１０点以上取られるのは何試合後でしょうか。

１０点以上取られるということは－１０点以下になるということですので、式は以下のようになります。
－２ｘ　＜＝　－１０
これを解くいてみましょう。
－２ｘ／－２　＜＝　－１０／－２
ｘ　＜＝　５
よって答えは５試合以下となりました。

・・・
・・・
・・・

何か変ですか？
そうですね。５試合後に－１０点になるので、５試合未満だと－１０点より大きいですよね。
つまり、答えは５試合以上のはずです。どこで計算を間違えたのでしょうか。
計算は間違えていません。実は式が間違っていたのでした。
それは、次のＡの式からＢの式にはならないからです。
－２ｘ　＜＝　－１０      ・・・Ａ
－２ｘ／－２　＜＝　－１０／－２      ・・・Ｂ
なぜ間違っているのでしょうか。ＢはＡの不等式の両辺にそれぞれ－２で割っているだけです。

では次の２つの不等式を考えてみましょう。
６＞５      ・・・Ｃ
－６＞－５      ・・・Ｄ
Ｃの不等式は正しいですよね。ですがＤの不等式はどうでしょうか？
そうです。Ｄの不等号の向きが違います。

もうひとつ考えてみます。
６＞５      ・・・Ｅ
６×（－１）＞５×（－１）      ・・・Ｆ
６÷（－１）＞５÷（－１）      ・・・Ｇ
ＦとＧの不等号の向きが間違っているのが分かりましたか？
そうです。今まで何が間違っていたかというと、移項する場合など、両辺にマイナスの値を掛けたり割ったりする場合は、両辺の大小関係が逆転するのです。
つまり、不等号の向きを逆にしなければならなかったのです。

それではもう一度、次の問題を解いてください。
Ｎｏｖｙ君がゴールキーパーをすると毎試合２点取られます。現在からカウントして１０点以上取られるのは何試合後でしょうか。

・・・
・・・
・・・

解答
－２ｘ　＜＝　－１０
－２ｘ／－２　＞＝　－１０／－２      ・・・ここで不等号の向きが変わる
ｘ　＞＝　５
よって答えは５試合以上となりました。
図３を見て確かめてください。

図３

今まで見てきたように、マイナス値を掛けたり割ったりする場合は、両辺の大小関係が逆転するので注意が必要ですね。

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Ｊａｓｏｎ君「どうだ、分かったか。Ｎｏｖｙなんて２試合もあれば逆転できるんだぞ。」
Ｎｏｖｙ君「まあ、あくまでも予定だからそうなるとは限らないよね。」
Ｊａｓｏｎ君「なんだとＮｏｖｙ！もしお前の得点を超えたら、ぶん殴ってやる！」
Ｎｏｖｙ君「ひーーーん！余計なことを言わなきゃよかった。」