７．関数

Ｊａｓｏｎ君とＮｏｖｙ君は関数？

チームＤｒａｇｏｎｓはこれから親善試合を行う予定です。そこで、Ｄｒａｇｏｎコーチが何やら買ってきたようです。

Ｄｒａｇｏｎコーチ「試合でがんばってくれるよう、みんなにキャンディーを買ってきたよ。」
Ｎｏｖｙ君「やったー！」
Ｊａｓｏｎ君「Ｄｒａｇｏｎコーチ、俺にたくさんちょうだい。そしたら３個につき１得点してみせるぜ。」
Ｎｏｖｙ君「僕にもたくさんちょうだい。僕もたくさん得点するから。」
Ｊａｓｏｎ君「Ｎｏｖｙには無理だよ。何個食べても得点できないから、あげなくてもいいよ。」
Ｎｏｖｙ君「ひどいぞ、Ｊａｓｏｎ君。」
Ｓｎａｋｅ君「僕はキャンディー食べても得点できるかどうか分からないなぁ。でもたくさんちょうだい。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「なるほど。Ｊａｓｏｎ君とＮｏｖｙ君は関数でＳｎａｋｅ君は関数ではないね。」
Ｎｏｖｙ君「関数？Ｄｒａｇｏｎコーチ、僕らは人間ですよ。」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「そういう意味ではなくて、Ｊａｓｏｎ君とＮｏｖｙ君は関数に例えることができるかな、と思ったんだよ。」
みんな「えー？どういうこと？」

関数って何？

Ｄｒａｇｏｎコーチは、Ｊａｓｏｎ君とＮｏｖｙ君は関数に例えることができて、Ｓｎａｋｅ君はできないと言ってました。これはどういう意味だか分かりますか？
そもそも関数とは何でしょうか？
はっきり答えられなくてもいいので、少し自分で関数をイメージしてみましょう。

・・・
・・・
・・・

何かイメージできましたか？
”関数は何かをしてくれるものです。”漠然としていますが、これぐらいはイメージできますね。
”関数は何か決まった仕事をしてくれるものです。”でもこれでは、Ｎｏｖｙ君には当てはまってもＪａｓｏｎ君には当てはまりませんね。Ｊａｓｏｎ君はもらえるキャンディーの個数に対して得点数が変わりますので。
”関数はある情報を与えると、それに対して必ず決まった仕事をしてくれるものです。”関数をこのように考えればＮｏｖｙ君もＪａｓｏｎ君にも当てはまります。
どのような仕事をするかは関数によって違います。例えばＪａｓｏｎ君はキャンディーを３個与えると試合で１得点します。（これはあくまでも例えです。）また、４個与えると１得点します。今度は６個与えると２得点します。Ｎｏｖｙ君の場合はキャンディーを３個与えると試合で０得点します。４個与えても６個与えても０得点します。
それに対してＳｎａｋｅ君は３個与えても４個与えても６個与えても何得点するか分かりません。つまり関数として例えることはできないですね。
図１を見て頭の中で整理しましょう。

図１

では、もしＳｎａｋｅ君が必ず以下のような対応表になるとすれば、関数だと言えるでしょうか？

キャンディー	得点
０個	３点
１個	１点
２個	４点
３個	４点
４個	０点
５個	２点
６個	１点
７個	１点

対応表１

何だかむちゃくちゃな感じがしますね。そうです。この対応表には何の規則性もありません。ですが、実はこれも関数と言えるのです。
それは、関数とは、関数はある情報を与えると、それに対して必ず決まった仕事をしてくれるものなので、どのような仕事をするかは関係あまりせん。
ただし、実際問題としては、このような関数は何も規則性がないので、これ以上議論することはありません。もとを返せば、規則性を追求するために数学は発展してきたのですから、規則性がないものはどうしようもないのです。ですが、これも関数であるということは覚えておきましょう。

ワンポイント(1)

関数の定義 ｘの値に対して、ｙの値がただ１つ定まるときｙはｘの関数といいます。これが関数の定義です。ではｙの値が複数ある場合はどうなるのでしょうか。ｙ＝√ｘという関係がそうです。例えば２＝√４、－２＝√４となります。つまり４＝２２＝（－２）２という訳です。これは無理関数と呼ばれています。なぜ”関数”という名前が付けられているかというと、関数には狭義と広義の意味があるからです。先の定義は関数の狭義の意味となり、広義の意味ではｙの値が複数ある場合も関数に含まれます。これらを区別するために先の定義を１価関数、無理関数などを多価関数と呼びます。特に無理関数は必ず２つのｙの値が存在するので２価関数とも呼ばれています。

では、Ｊａｓｏｎ君、Ｎｏｖｙ君、そしてのＳｎａｋｅ君が対応表１の場合の関数をＸＹ座標に描くとどうなるのかを見てみましょう。
図２を見てください。

図２

Ｊａｓｏｎ君は階段状、Ｎｏｖｙ君は直線。そしてのＳｎａｋｅ君はやっぱり不規則でしたね。

ワンポイント(2)

ＸＹ座標 ＸＹ座標とは、ある原点Ｏから縦方向にｙ軸、横方向にｘ軸を置き、関数に与える情報（入力）をｘ、その結果行った仕事（出力）をｙとして、その関数がどのような図形になるのかを見るためのグラフです。 このｘとｙという変数は、関数の方程式にも使われます。例えば１次関数はｙ＝ａｘ＋ｂという方程式で表せますが、ｙは関数が出力する値でｘは関数に入力する値となります。 それから、よく使われる原点ＯはＯｒｉｇｉｎのイニシャルです。また、Ｘは数学者デカルトが、彼の論文上で「未知数の・・・」と書くのが大変だったので、「以後未知数はＸ、Ｙ、Ｚで表わす」と断って論文を書き上げたため、他の数学者が真似るようになったと言われてます。

いろいろな関数

中学や高校の数学の授業で学習する関数はいろいろあります。その代表的なものは以下の通りです。

・１次関数（正比例関数）
・反比例関数（分数関数）
・２次関数
・三角関数（正弦関数sin、余弦関数cos、正接関数tan）
・指数関数
・対数関数
・無理関数

これらがどのような関数であるかの説明は別の機会に譲りたいと思いますが、ここで覚えていただきたいのは、関数はこれだけではないということです。もっと難しい関数がたくさんある、と言いたいのではありません。関数は上記のような難しそうなものだけに価値がある、のではないということです。関数はもっと利用範囲が広いのです。

まずは実際にプログラムの世界でよく使う関数を紹介します。プログラムとはコンピュータのプログラムのことです。どのような関数であるか予想してみましょう。

１．日付から曜日を求める関数
２．閏（うるう）年を判定する関数

次に奇妙な関数を挙げてみます。これらがどのような関数であるか予想してみましょう。

３．ｙ＝ｘ
４．ｙ＝０
５．ｘ＝０

・・・
・・・
・・・

では１．から５．がどのような関数であるか見てみましょう。
図を見ながら考えてください。

１．日付から曜日を求める関数

図３

ある日付から曜日を求めるにはどんな入力（プログラミング用語では引数と呼びます）が必要でしょうか。そして、どんな出力があるでしょうか。
引数には日付（年／月／日）が必要ですね。そして、出力される情報は”日曜日”、”月曜日”、”火曜日”、”水曜日”、”木曜日”、”金曜日”、そして”土曜日”のいずれかです。では、日付からどのように曜日を判断すればいいのでしょうか。そのポイントは剰余を求めるということです。以下にその手順を示します。
ａ．引数として与えられた日付（年／月／日）を整数に変換します。そのためには、まずある日付を０と決めます。ここでは２００２年１２月３１日を０と決めたとします。すると２００３年１月１日は１となりますね。もし求めたい日付が２００３年４月１２日であれば、１月が３１日、２月は２８日、３月は３１日、４月は１２日分を足せばいいので、１０２という整数になります。
ｂ．次に日付から生成した整数を７で割った剰余を求めることです。７は曜日の数ですね。１０２÷７＝１４＋４／７ですので４が剰余となります。
ｃ．最後に剰余から曜日を判断します。２００２年１２月３１日が火曜日だと分かっていれば、０が火曜日、１が水曜日という感じに判断できます。ということは、４は土曜日になりますね。ですので、”土曜日”を出力すれば処理は終わりです。
もし、２００２年１２月３１日よりも古い日付が入力された場合は、０が火曜日、１が月曜日、２が日曜日というふうに判断することになります。

２．閏（うるう）年を判定する関数

図４

閏年はいつあるのでしょうか？そのパターンが分かっていれば計算できます。ここでも剰余が活躍します。
まず、入力は年（西暦）です。そして、出力は”閏年である”あるいは”閏年ではない”のようにＹｅｓ／Ｎｏとなります。ここではＹｅｓを１、Ｎｏを０と決めます。
閏年となるパターンはこのように決まっています。
「西暦年数が１００の倍数のときは４００で割り切れる年、１００の倍数でないときは４で割り切れる年を閏年とし、その他を平年とする」
平年とは閏年でない年のことです。
１９００年は１００の倍数ですが、４００で割り切れないので、閏年ではありません。つまり平年です。
２０００年は１００の倍数で、かつ４００で割り切れるので、閏年となります。
２００４年は１００の倍数ではありませんが、４で割り切れるので、閏年となります。
２００５年は１００の倍数ではありませんし、４で割り切れないので、閏年ではありません。つまり平年です。
では手順を示します。
ａ．引数として与えられた年を１００で割ります。剰余が０であれば（割り切れれば）ｂ．の処理をします。０でなければｄ．の処理をします。
ｂ．年を４００で割ります。剰余が０であれば”閏年である”、０でなければ”閏年ではない”を出力します。
ｃ．年を４で割ります。剰余が０であれば”閏年である”、０でなければ”閏年ではない”を出力します。

３．から５．は図５を見てください。

図５

３．ｙ＝ｘ
ｙ＝ｘはｙ＝ａｘ＋ｂの形式に当てはめたとき、ａ＝１、ｂ＝０となります。つまり傾きが１で切片が０です。傾きが１ということは、ｘが１増えたとき、ｙが１増えるということです。つまり、原点を中心としてｘ軸を反時計回りに４５度回転させた直線となります。

４．ｙ＝０
ｙ＝０はｙ＝ａｘ＋ｂの形式に当てはめたとき、ａ＝０、ｂ＝０となります。つまり傾きが０で切片が０です。傾きが０ということは、ｘが１増えたてもｙは増えないということです。つまり、ｘ軸と一致する直線になります。

５．ｘ＝０
これは、４．から想像すると、ｙ軸と一致する直線と考えることができます。ですが、ｘがとりうる値（これを定義域といいます）は０だけです。また、ｙがとりうる値（これを値域といいます）は定まっていません。関数は「」という意味でしたが、これに当てはまるとは言いがたいです。つまりｘ＝０は直線を表す式ではあっても、関数ではないと言えます。

発展(1)

関数自体の性質 数学には関数自体についての性質を学ぶ分野があります。言い換えると、どんな関数にも共通して言えることは何かを考えるということです（特に先の１価関数について）。例えばある関数ｙ＝ａｘ＋ｂとｙ＝ｃｘ＋ｄを加算するとｙ＝（ａ＋ｃ）ｘ＋ｂ＋ｄとなります。また、未知数ＹとＸを入れ替えたｘはｙの関数は、どのような関数であるかを学んだりします。前者を合成関数と呼び、後者を逆関数と呼びます。このように、関数を抽象的に論じるときは、ｙ＝ｆ（ｘ）として関数を抽象的に表します。ｆはＦｕｎｃｔｉｏｎのイニシャルとして使われています。

発展(2)

関数の語源 関数は英語でＦｕｎｃｔｉｏｎと言いますが、これは機能とか役目といった意味があります。これが１９世紀中国に伝わったときに函数という語が使われました。これは”独立変数（ｘのこと）を中につつみこんだ数”という意味の造語ですが、中国式の発音（ファンスウ）もｆｕｎｃｔｉｏｎに近かったのでこれを用いたと言われています。これが日本に伝わり、１９５０年代まではこの用語が使われていました。しかし、函の文字は常用漢字のリストにはなかったので、当時の数学者の希望にもかかわらず、同じ音の関数という用語が使われるようになったのです。関数はＦｕｎｃｔｉｏｎが素直に翻訳されたものではなかったのです。

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Ｎｏｖｙ君「僕って必ず０点だから関数なのか。エヘン！どうだい、すごいだろう？」
Ｓｎａｋｅ君「いつも０点なのに何をいばっているんだ？そう言えばＮｏｖｙの数学のテストもいつも０点だよなぁ。」
Ｊａｓｏｎ君「ははは。そう考えれば確かにすごいや。人には真似できないもんなぁ。」
Ｎｏｖｙ君「ひーーーん、くやしい！やっぱり関数なんて嫌いだー！」
Ｄｒａｇｏｎコーチ「Ｎｏｖｙ君はいつでもいじめられる関数と言えそうだなぁ・・・」