２．分数の割り算

なぜ分母と分子を逆にして掛算するの？

まずは図１を見て下さい。

図１

Ｄｒａｇｏｎコーチは、今日の親善試合のためにスポーツドリンクの入った１２リットルのタンク１つと、３／２（１．５）リットル入るボトルをたくさん持ってきてくれました。そこでＤｒａｇｏｎコーチは、ボトルに均等に分けようと言っています。

Ｎｏｖｙ君「嬉しいなぁＤｒａｇｏｎコーチ。でも１２リットルを３／２リットルで分けたら１２÷３／２で２人分しかないね。」
Ｓｎａｋｅ君「バカだなぁＮｏｖｙは。１２リットルを１．５リットルで割ればいいんだから、１２÷１．５と一緒だから８人分だよ。」
Ｓｅｌｉｃａちゃん「確かに答えは８人分だと思うけど、１２÷１．５を１２０÷１５に通分してから計算するよりも１２÷３／２＝１２×２／３と分数のまま計算した方が簡単よ。」
Ｎｏｖｙ君「そうだよ。ちょっと計算方法を間違えただけじゃないか！１２÷３／２＝２．．．あれ？」
Ｊａｓｏｎ君「分数の割り算は分母と分子を逆にして掛け算にするんだよ。そうしろって先生に教わっただろ？」
Ｎｏｖｙ君「でもどうして分母と分子を逆にして掛け算にすればいいの？どうして？」
Ｊａｓｏｎ君「うるさい！そういう決まりなんだよ。」
Ｎｏｖｙ君「どうしてなの？教えてＤｒａｇｏｎコーチ！」

割り算の２つの方法

何故、分数の割り算は分母と分子を逆にして掛け算にすればいいのでしょうか？実は割り算にはＡ÷Ｃ／Ｂを”そのまま分割する”方法以外にも”割合を変えずに分母を１にする”という方法があるのです。
まず最初にそのまま分割する方法を考えてみます。
図２を見て下さい。

図２

図２の上の２つの数直線を見ると通常の割り算そのままの方法で答えを導いていることが分かります。ですが一番下の式は目盛りをうまく刻めないので正確な答えが分かりません。

ワンポイント１

掛け算と割り算の結果をその式から予想してみましょう。ここで言う予想とはその結果が元の数より増えるかどうかということです。 掛け算（Ｐ×Ｑ＝Ｒ）の場合（Ｑ＞０とする） Ｑ＞１であればＲ＞Ｐとなる。 ０＜Ｑ＜１であればＲ＜Ｐとなる。 Ｑ＝１であればＲ＝Ｐとなる。 割り算（Ｐ÷Ｑ＝Ｒ）の場合（Ｑ＞０とする） Ｑ＞１であればＲ＜Ｐとなる。 ０＜Ｑ＜１であればＲ＞Ｐとなる。 Ｑ＝１であればＲ＝Ｐとなる。 このことを知っていれば、式からあらかじめどのような答えになるのか分かるので、もし予想と違っていた場合には計算間違いに気づくことができます。

次に割合を変えずに分母を１にする方法を考えてみます。
例として図２と同じ式を解いてみます。
図３を見て下さい。

図３

図３は図２とは違う方法で同じ答えを導いていることが分かります。つまり割合を変えずに約分させて分母を１にする方法は分母と分子を逆にした数で掛ける方法ということになります。
この分母と分子を逆にした数は元の数の「逆数」と呼びます。３／２の逆数は２／３で、５の逆数は１／５です。Ａの逆数をＡ´とすると、Ａ×Ａ´＝１の関係になります。つまり今まで”分母と分子を逆にする”と呼んでいたものは”逆数にする”と呼べることになります。

ワンポイント２

比で考えてみよう 図３の方法は比に置き換えて考えると分かりやすいと思います。 １２÷３／２は１２：３／２という比を求めることと同じです。比を求めるということはＰ：ＱのＱが１の場合にＰがいくつになるかということです。これを式に書くとＰ：Ｑ＝ｘ：１のｘを求めるということになります。 比の性質としては、それぞれ同じ量を掛けても割っても比は変わりません。例えばＰ：Ｑ　＝　２Ｐ：２Ｑ　＝　Ｐ／３：Ｑ／３という等式が成り立ちます。このことは分数でも当てはまります。分母と分子それぞれに同じ量を掛けても割ってもその割合自体は変わりません。図２は１２：３／２をそのまま割り算にして求めた場合で、図３は３／２を１にするためにその逆数を掛けた方法であると言えます。式で書くと１２　：　３／２　＝　１２×２／３　：　３／２×２／３　＝　８　：　１となります。

あなたが悩んでいた理由

あなたが悩んでいた理由は何だったのでしょうか。それは多分、何が何でも図２の方法で割り算をイメージしていたからではないでしょうか。図３は図２とはまったく別の方法なのです。このことをしっかり意識すれば、図３の方法＝逆数で掛ける方法をすんなり受け入れることができると思います。分数の割り算の場合図２の方法では限度があるので、この新しい割り算の方法を身につけるようにしましょう。

例題を解いてみよう

では例題1を解いてみましょう。

例題１  
［問題］
次の分数の割り算の答えをそれぞれ求めてみましょう。

（１）１５　÷　５／３
（２）１５　÷　９／１１
（３）４４／３　÷　９／１０
（４）１３　２／７　÷　３／５      ・・・１３　２／７は帯分数です

・・・
・・・
・・・

［解答］
（１）１５　÷　５／３　　＝　１５　×　　３／５　＝　９
（２）１５　÷　９／１１　＝　１５　×　１１／９　＝　５５／３　＝　１８　１／３
（３）４４／３　÷　９／１０　＝　４４／３　×　１０／９　＝　４４０／２７　＝　１６　８／２７
（４）１３　２／７　÷　３／５　＝　９３／７　÷　３／５　＝　９３／７　×　５／３　＝　１５５／７　＝　２２　１／７

（２）、（３）、（４）は仮分数（分子＞分母）から帯分数に変えています。この方がどのくらいの量なのかが把握しやすいためです。
また（４）の割られる数は帯分数ですので、計算しやすいように仮分数に変えています。

どうでしたか？”割合を変えずに分母を１にする”方法でうまくいきましたか？
もしうまくいかなければ、図３のように数直線を描いてひとつひとつていねいに計算してみましょう。

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Ｎｏｖｙ君「なるほど。割り算の方法は１つだけじゃなく、逆数を掛けても答えが求められるんだな。つまり１２÷３／２は１２×２／３と等しいから、２４÷３は。。。あれ？何だっけ？」
Ｓｎａｋｅ君「Ｎｏｖｙは分数の割り算の前に普通の割り算を勉強した方がいいみたいだぜ！」
Ｊａｓｏｎ君「ハハハ！やっぱりＮｏｖｙはバカだなぁ。」
Ｎｏｖｙ君「ひーん。Ｄｒａｇｏｎコーチーーー！」